📘 Giá trị lượng giác của góc
Toán 10 – Chương trình GDPT 2018 · Góc từ 0° đến 180°
1. Góc và nửa đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), nửa đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R=1\) nằm phía trên trục hoành gọi là nửa đường tròn lượng giác. Với mỗi góc \(\alpha\) (\(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ\)) ta xác định điểm \(M\) trên nửa đường tròn sao cho góc \(\widehat{xOM} = \alpha\). Khi đó:
- sin \(\alpha\) là tung độ \(y_M\).
- cos \(\alpha\) là hoành độ \(x_M\).
- tan \(\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) (với \(\alpha \neq 90^\circ\)).
- cot \(\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) (với \(\alpha \neq 0^\circ, 180^\circ\)).
\[
\sin\alpha = y_M,\quad \cos\alpha = x_M,\quad \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
\]
2. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Học thuộc bảng dưới đây – nền tảng cho nhiều dạng bài:
| \(\alpha\) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° |
|---|
| \(\sin\alpha\) | 0 | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | 1 | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac12\) | 0 |
| \(\cos\alpha\) | 1 | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac12\) | 0 | \(-\frac12\) | \(-\frac{\sqrt2}{2}\) | \(-\frac{\sqrt3}{2}\) | -1 |
| \(\tan\alpha\) | 0 | \(\frac{\sqrt3}{3}\) | 1 | \(\sqrt3\) | || | \(-\sqrt3\) | -1 | \(-\frac{\sqrt3}{3}\) | 0 |
| \(\cot\alpha\) | || | \(\sqrt3\) | 1 | \(\frac{\sqrt3}{3}\) | 0 | \(-\frac{\sqrt3}{3}\) | -1 | \(-\sqrt3\) | || |
(Kí hiệu || nghĩa là không xác định)
3. Tính chất – Góc bù nhau
Với hai góc bù nhau \(\alpha\) và \(180^\circ - \alpha\):
\[
\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha, \quad \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha
\]
\[
\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha,\quad \cot(180^\circ - \alpha) = -\cot\alpha
\]
Ví dụ: \(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}\); \(\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\dfrac12\).
4. Ví dụ cụ thể
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức \(A = 3\sin 30^\circ + 2\cos 60^\circ - \tan 45^\circ\).
Giải: \(\sin30^\circ = \frac12\), \(\cos60^\circ = \frac12\), \(\tan45^\circ = 1\).
\[
A = 3\cdot\frac12 + 2\cdot\frac12 - 1 = \frac32 + 1 - 1 = \frac32.
\]
Ví dụ 2: Cho góc \(\alpha\) với \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) và \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). Tính \(\cos\alpha\) và \(\tan\alpha\).
Giải: Vì \(\alpha\) tù nên \(\cos\alpha < 0\).
\[
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \Rightarrow \cos\alpha = -\frac{4}{5}.
\]
\[
\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}.
\]
Ví dụ 3: Rút gọn \(B = \cos(180^\circ - x) + \sin(90^\circ - x)\).
Giải: \(\cos(180^\circ - x) = -\cos x\); \(\sin(90^\circ - x) = \cos x\).
Vậy \(B = -\cos x + \cos x = 0\).
✍️ Câu hỏi củng cố (tự kiểm tra)
- Cho \(\cos\alpha = -\frac{1}{2}\) và \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ\). Tìm \(\alpha\) và tính \(\sin\alpha\).
- Không dùng máy tính, hãy tính: \(\sin 150^\circ + \cos 135^\circ - \tan 120^\circ\).
- Chứng minh rằng: \(\sin^2 10^\circ + \sin^2 80^\circ = 1\) (gợi ý: dùng góc phụ nhau).
- Với góc \(\alpha\) bất kì (\(0^\circ < \alpha < 180^\circ\)), giải thích tại sao \(\sin\alpha\) luôn không âm?
- Cho \(\tan\alpha = 2\) và \(\alpha\) là góc tù. Tính \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\).
💡 Hãy tự giải, sau đó kiểm tra lại bằng bảng giá trị hoặc tính chất.