Đạo hàm & ứng dụng

Bài học tự học – Toán 11 (chương trình GDPT 2018)

1. Đạo hàm là gì?

Đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(x_0\) (kí hiệu \(f'(x_0)\)) biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó. Nói cách khác, nó là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại \(x_0\).

Công thức định nghĩa:

\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]

Trong thực tế, đạo hàm giúp ta tính vận tốc tức thời, gia tốc, tốc độ tăng trưởng, hoặc tìm điểm cực trị của hàm số.

2. Một số quy tắc tính đạo hàm

Với các hàm số thường gặp ở lớp 11, ta sử dụng các công thức sau (giả sử \(u=u(x), v=v(x)\)):

\((u \pm v)' = u' \pm v'\)
\((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\)
\(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0)\)
\((x^n)' = n x^{n-1}\) (với \(n \in \mathbb{R}\))
\((\sin x)' = \cos x\) | \((\cos x)' = -\sin x\)
\((e^x)' = e^x\) | \((\ln x)' = \frac{1}{x}\) (với \(x>0\))

📘 Ví dụ 1 – Tính đạo hàm của hàm số \(f(x)=3x^4 - 2x^2 + 5\)

Áp dụng công thức: \(f'(x) = 3\cdot 4x^{3} - 2\cdot 2x^{1} + 0 = 12x^3 - 4x\).

📘 Ví dụ 2 – Tính đạo hàm của \(g(x)= (x^2+1)\cdot \sin x\)

Dùng quy tắc tích: \(g'(x) = (x^2+1)'\sin x + (x^2+1)(\sin x)' = 2x\sin x + (x^2+1)\cos x\).

3. Ứng dụng của đạo hàm

3.1 Phương trình tiếp tuyến

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M(x_0; f(x_0))\) có phương trình:

\[ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \]

🧮 Ví dụ 3 – Viết tiếp tuyến của \(y = x^2 + 2x\) tại điểm có hoành độ \(x_0=1\).

\(f'(x)=2x+2 \Rightarrow f'(1)=4\); \(f(1)=3\).
Tiếp tuyến: \(y = 4(x-1)+3 = 4x -1\).

3.2 Xét tính đơn điệu và cực trị

Trên khoảng \((a;b)\):

Nếu \(f'(x) > 0\) thì hàm số đồng biến (tăng).
Nếu \(f'(x) < 0\) thì hàm số nghịch biến (giảm).
Nếu \(f'(x)\) đổi dấu khi qua \(x_0\) thì \(x_0\) là điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).

🔍 Ví dụ 4 – Tìm cực trị của \(h(x)= x^3 - 3x + 2\).

\(h'(x)=3x^2-3 = 3(x^2-1)\). \(h'(x)=0 \Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=-1\).
Lập bảng xét dấu: \(h'(x)>0\) trên \((-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\); \(h'(x)<0\) trên \((-1;1)\).
Vậy \(x=-1\) là điểm cực đại (giá trị \(h(-1)=4\)), \(x=1\) là điểm cực tiểu (giá trị \(h(1)=0\)).

4. Một ứng dụng thực tế

Trong Vật lý, nếu \(s(t)\) là quãng đường đi được theo thời gian \(t\) thì vận tốc tức thời \(v(t)=s'(t)\), gia tốc \(a(t)=v'(t)=s''(t)\).
Ví dụ: Một vật chuyển động với phương trình \(s(t)=t^2 + 3t\) (m). Vận tốc tại thời điểm \(t=2\) giây là \(s'(2)=2\cdot 2+3 = 7\) m/s.

📝 Câu hỏi củng cố (tự luận ngắn)

Tính đạo hàm của hàm số \(f(x)=5x^3 - 2x + \sqrt{x}\) (với \(x>0\)).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(y = \cos x\) tại điểm có hoành độ \(x_0 = \frac{\pi}{3}\).
Cho hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 2\). Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Một hòn đá được ném lên với độ cao \(h(t)= -5t^2 + 20t + 2\) (mét). Tính vận tốc tức thời tại thời điểm \(t=1\) giây.
Chứng minh rằng hàm số \(g(x)= x + \frac{1}{x}\) (với \(x>0\)) đạt cực tiểu tại \(x=1\).

💡 Hãy tự giải trước khi xem đáp án gợi ý (giáo viên có thể cung cấp sau).

📐 Ôn tập thường xuyên – Đạo hàm là chìa khóa của giải tích.