✧ Nguyên hàm, tích phân & ứng dụng

Lớp 12 – Chương trình Toán Việt Nam · Tự học qua ví dụ và lí thuyết cô đọng.

1. Nguyên hàm – Khái niệm & tính chất

Định nghĩa: Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $K$. Hàm $F(x)$ gọi là nguyên hàm của $f(x)$ nếu $F'(x)=f(x)$ với mọi $x \in K$.

Mọi nguyên hàm của $f(x)$ đều có dạng $F(x)+C$, với $C$ là hằng số.

📌 Ví dụ 1 – Nguyên hàm cơ bản

Tìm nguyên hàm của $f(x)=3x^2$.

Giải: Vì $(x^3)' = 3x^2$, nên $F(x)=x^3$ là một nguyên hàm. Vậy họ nguyên hàm: $\displaystyle \int 3x^2\,dx = x^3 + C$.

$\displaystyle \int k f(x)\,dx = k \int f(x)\,dx$ (với $k$ hằng số).
$\displaystyle \int [f(x)\pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$.
Bảng nguyên hàm thường dùng: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\,(n\neq -1)$; $\int e^x dx = e^x+C$; $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|+C$…

Nếu $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a,b]$, thì tích phân từ $a$ đến $b$ của $f(x)$ được tính:

$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

Ý nghĩa hình học: Với $f(x)\ge 0$, tích phân là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$.

📌 Ví dụ 2 – Tính tích phân cơ bản

Tính $\displaystyle I = \int_{1}^{2} (2x + 1)\,dx$.

Giải: Nguyên hàm $F(x)=x^2+x$. Theo Newton–Leibniz: $I = F(2)-F(1) = (4+2)-(1+1)=4$.

Đổi biến số: Đặt $u=u(x)$, vi phân $du = u'(x)dx$, đổi cận.
Tích phân từng phần: $\displaystyle \int_a^b u\,dv = uv\Big|_a^b - \int_a^b v\,du$.

Diện tích hình phẳng: Diện tích $S$ giới hạn bởi $y=f(x)$, $y=g(x)$, $x=a$, $x=b$ (với $f(x)\ge g(x)$ trên $[a,b]$) là:

$\displaystyle S = \int_{a}^{b} \left| f(x) - g(x) \right|\,dx$

Thể tích khối tròn xoay: Quay hình phẳng quanh $Ox$: $\displaystyle V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2\,dx$.

📌 Ví dụ 3 – Tính diện tích hình phẳng

Tính diện tích $S$ giới hạn bởi $y=x^2$ và $y=2x$.

Giải: Hoành độ giao điểm: $x^2=2x \Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Trên $[0,2]$, $2x \ge x^2$.

$\displaystyle S = \int_{0}^{2} (2x - x^2)\,dx = \left( x^2 - \frac{x^3}{3} \right)\Big|_{0}^{2} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$ (đvdt).

📌 Ví dụ 4 – Thể tích khối tròn xoay

Cho hình phẳng giới hạn bởi $y=\sqrt{x}$, $y=0$, $x=0$, $x=4$ quay quanh $Ox$. Tính $V$.

Giải: $\displaystyle V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{0}^{4} x\,dx = \pi \cdot \frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{4} = 8\pi$ (đvtt).

Tìm họ nguyên hàm của $f(x)=4x^3 - 2x + 5$.
Tính $\displaystyle \int_{0}^{1} e^{2x}\,dx$ (dùng đổi biến hoặc nguyên hàm trực tiếp).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=x^2-1$ và $y=3$ bằng bao nhiêu? (gợi ý: tìm cận từ phương trình $x^2-1=3$)
Viết công thức tính thể tích khi quay $y=\sin x$, $x=0$, $x=\pi$, $y=0$ quanh $Ox$ (không cần kết quả).
Nêu một ứng dụng thực tế của tích phân ngoài tính diện tích, thể tích (ví dụ: tính quãng đường từ vận tốc).

✎ Hãy tự giải ra nháp, sau đó kiểm tra lại bằng định nghĩa hoặc máy tính cầm tay.

📘 Bài học thuộc chương III – Giải tích 12 · Biên soạn theo hướng tự học, dễ đọc trên di động.