📘 Số phức – Lớp 12
Số phức là mở rộng của tập số thực, giúp giải các phương trình vô nghiệm trên ℝ như \(x^2 + 1 = 0\). Mỗi số phức có dạng \(a + bi\) với \(a, b\) là số thực và \(i\) là đơn vị ảo (\(i^2 = -1\)).
1. Định nghĩa và ký hiệu
Một số phức được viết dưới dạng:
\(z = a + bi\) , trong đó \(a, b \in \mathbb{R}\), \(i^2 = -1\)
- Phần thực của \(z\) là \(a\).
- Phần ảo của \(z\) là \(b\).
- Nếu \(b = 0\) thì \(z\) là số thực. Nếu \(a = 0\) và \(b \neq 0\) thì \(z\) là số thuần ảo.
Ví dụ 1: \(z = 3 + 4i\) có phần thực \(3\), phần ảo \(4\).
\(w = -2i\) có phần thực \(0\), phần ảo \(-2\) (số thuần ảo).
2. Hai số phức bằng nhau
Cho \(z_1 = a + bi\) và \(z_2 = c + di\). Ta có:
\(a + bi = c + di \iff a = c\) và \(b = d\)
Ví dụ 2: Tìm \(x, y\) thực biết \((x+1) + (y-2)i = 3 - i\)
→ \(x+1 = 3 \Rightarrow x = 2\) và \(y-2 = -1 \Rightarrow y = 1\).
3. Biểu diễn hình học (mặt phẳng phức)
Mỗi số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bởi điểm \(M(a; b)\) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Trục hoành là trục thực, trục tung là trục ảo.
📌 Điểm \(M\) cũng chính là ảnh của số phức \(z\).
Ví dụ 3: Số phức \(z = 2 - 3i\) biểu diễn bởi điểm \(M(2; -3)\).
Số phức \(z = -1 + i\) biểu diễn bởi điểm \(N(-1; 1)\).
4. Môđun của số phức
Môđun của số phức \(z = a + bi\) là độ dài vectơ \(\overrightarrow{OM}\), ký hiệu \(|z|\):
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
Ví dụ 4: \(|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)
\(|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\).
5. Số phức liên hợp
Cho \(z = a + bi\). Số phức liên hợp của \(z\), ký hiệu \(\overline{z}\), là:
\(\overline{z} = a - bi\)
Trên mặt phẳng phức, \(\overline{z}\) đối xứng với \(z\) qua trục thực (Ox).
Ví dụ 5: \(z = 5 + 2i \Rightarrow \overline{z} = 5 - 2i\)
\(z = -3i \Rightarrow \overline{z} = 3i\).
📝 Câu hỏi củng cố (tự luận ngắn)
Hãy tự trả lời các câu hỏi sau để kiểm tra hiểu bài:
- Cho số phức \(z = -7 + 5i\). Xác định phần thực, phần ảo và số phức liên hợp của \(z\).
- Tìm số thực \(x, y\) biết: \((2x - 1) + (3y + 2)i = 5 - 4i\).
- Tính môđun của các số phức: \(z_1 = 6 - 8i\) và \(z_2 = -3 + i\).
- Trên mặt phẳng phức, điểm nào biểu diễn số phức \(z = -4 - i\)? Vẽ tọa độ tương ứng.
- Cho \(z = 2 + 3i\). Hãy tìm \(\overline{z}\) và tính \(|z|, |\overline{z}|\). Nhận xét gì về hai môđun?
💡 Gợi ý: Ôn lại các công thức và ví dụ phía trên trước khi làm.
— Chúc các em học tốt! —