📐 Phương trình bậc hai & Định lý Vi-ét
Toán 9 • Chương 4: Hàm số & Phương trình bậc hai
1. Phương trình bậc hai một ẩn
Dạng tổng quát:
\[
ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)
\]
Trong đó \(a, b, c\) là các hệ số (số thực), \(x\) là ẩn. Để giải phương trình, ta dùng công thức nghiệm (delta).
🔹 Công thức nghiệm (delta)
Đặt \(\Delta = b^2 - 4ac\). Khi đó:
- Nếu \(\Delta > 0\): phương trình có hai nghiệm phân biệt
\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
\]
- Nếu \(\Delta = 0\): phương trình có nghiệm kép
\[
x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}
\]
- Nếu \(\Delta < 0\): phương trình vô nghiệm (trên tập số thực).
📌 Ví dụ 1: Giải phương trình \(2x^2 - 5x + 2 = 0\)
Tính \(\Delta = (-5)^2 - 4\cdot2\cdot2 = 25 - 16 = 9 > 0\).
\(\sqrt{\Delta}=3\). Vậy hai nghiệm:
\[
x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2, \quad x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}.
\]
📌 Ví dụ 2: \(x^2 - 6x + 9 = 0\) có \(\Delta = 36 - 36 = 0\)
→ nghiệm kép \(x = \frac{6}{2} = 3\).
2. Định lý Vi-ét (thuận)
Nếu phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) (với \(a \neq 0\)) có hai nghiệm \(x_1, x_2\) (kể cả nghiệm kép), thì:
\[
\boxed{x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}} \qquad \boxed{x_1 x_2 = \frac{c}{a}}
\]
Ý nghĩa: Chỉ cần biết các hệ số, ta có thể tính tổng và tích các nghiệm mà không cần giải phương trình.
📌 Ví dụ 3: Cho phương trình \(3x^2 - 9x + 6 = 0\).
Ta có \(a=3, b=-9, c=6\). Theo Vi-ét:
\[
x_1 + x_2 = -\frac{-9}{3} = 3, \quad x_1x_2 = \frac{6}{3} = 2.
\]
(Có thể kiểm tra: phương trình có nghiệm \(x=1\) và \(x=2\), đúng tổng 3, tích 2.)
🔸 Ứng dụng quan trọng: Nhẩm nghiệm
- Trường hợp đặc biệt 1: Nếu \(a + b + c = 0\) → phương trình có nghiệm \(x_1 = 1\), nghiệm kia \(x_2 = \dfrac{c}{a}\).
- Trường hợp đặc biệt 2: Nếu \(a - b + c = 0\) → phương trình có nghiệm \(x_1 = -1\), nghiệm kia \(x_2 = -\dfrac{c}{a}\).
Ví dụ 4: Phương trình \(5x^2 - 3x - 2 = 0\) có \(a+b+c = 5 + (-3) + (-2) = 0\)
→ ngay một nghiệm \(x_1 = 1\), nghiệm còn lại \(x_2 = \frac{-2}{5} = -0,4\).
3. Tìm hai số khi biết tổng và tích
Nếu hai số \(u\) và \(v\) có tổng \(S\), tích \(P\) (với \(S^2 - 4P \ge 0\)) thì chúng là nghiệm của phương trình:
\[
x^2 - Sx + P = 0
\]
Ví dụ 5: Tìm hai số biết tổng bằng 7, tích bằng 12.
Giải: Hai số là nghiệm của \(x^2 - 7x + 12 = 0\).
\(\Delta = 49 - 48 = 1\), nghiệm \(x_1 = 4, x_2 = 3\). Vậy hai số là 3 và 4.
📘 Câu hỏi củng cố (tự luận ngắn)
Hãy tự trả lời vào vở, không cần nộp đáp án.
- Cho phương trình \(x^2 - 5x + 6 = 0\). Không giải, hãy tính tổng và tích hai nghiệm. Dùng Vi-ét để kiểm tra.
- Viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) khi \(\Delta > 0\).
- Phương trình \(2x^2 + 3x - 5 = 0\) có một nghiệm là \(x = 1\). Tìm nghiệm còn lại bằng định lý Vi-ét.
- Tìm hai số biết tổng của chúng là \(-4\) và tích là \(-5\). (Gợi ý: lập phương trình \(x^2 + 4x - 5 = 0\)).
- Nêu điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép? Viết nghiệm kép đó.
✏️ Học sinh tự kiểm tra – không có đáp án ở đây.
📖 Ghi nhớ: Định lý Vi-ét là “chìa khóa” giúp giải nhanh nhiều bài toán liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai, đặc biệt là nhẩm nghiệm và tìm hai số khi biết tổng – tích. Hãy luyện tập thường xuyên!
📚 Giáo viên Toán 9 – Bài học tự học