Khoảng cách trong không gian

Trong không gian, khoảng cách thường được hiểu là độ dài ngắn nhất giữa hai đối tượng hình học. Muốn tính đúng, ta thường phải xác định được đoạn vuông góc hoặc đường vuông góc chung.

1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng

Cho điểm \(M\) và đường thẳng \(\Delta\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \(\Delta\). Khi đó:

\[ d(M,\Delta)=MH. \]

Cho điểm \(M\) và mặt phẳng \((\alpha)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \((\alpha)\). Khi đó:

\[ d(M,(\alpha))=MH. \]

Như vậy, khoảng cách là độ dài đoạn vuông góc ngắn nhất. Nếu \(M\) nằm trên đường thẳng hoặc mặt phẳng thì khoảng cách bằng \(0\).

Ví dụ 1

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính khoảng cách từ \(A'\) đến mặt phẳng \((ABCD)\).

Vì \(A'A\perp (ABCD)\) tại \(A\), nên hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên \((ABCD)\) là \(A\). Do đó:

\[ d(A',(ABCD))=A'A=a. \]

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song

Nếu đường thẳng \(\Delta\) song song với mặt phẳng \((\alpha)\), thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên \(\Delta\) đến \((\alpha)\):

\[ d(\Delta,(\alpha))=d(M,(\alpha)),\quad M\in \Delta. \]

Nếu hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\) song song, thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia:

\[ d((\alpha),(\beta))=d(M,(\beta)),\quad M\in (\alpha). \]

Với hai đường thẳng song song, khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Ví dụ 2

Trong hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\), tính \(d(A'B',(ABCD))\).

Ta có \(A'B'\parallel AB\), mà \(AB\subset (ABCD)\), nên \(A'B'\parallel (ABCD)\). Khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách từ \(A'\) đến \((ABCD)\), tức là \(a\).

Tương tự, \(d((A'B'C'D'),(ABCD))=AA'=a\).

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\). Đường thẳng \(c\) cắt cả \(a\), \(b\) và vuông góc với cả hai được gọi là đường vuông góc chung của \(a\) và \(b\). Độ dài đoạn vuông góc chung chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta có thể dựng mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia, rồi đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Ngoài ra, trong một số bài toán hình chóp, có thể dùng thể tích để tính khoảng cách.

Ví dụ 3

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính khoảng cách giữa \(AB\) và \(CC'\).

Ta có \(BC\perp AB\) (vì \(ABCD\) là hình vuông) và \(BC\perp CC'\) (vì \(CC'\perp (ABCD)\)). Vậy \(BC\) là đoạn vuông góc chung của \(AB\) và \(CC'\). Do đó:

\[ d(AB,CC')=BC=a. \]

4. Một số lưu ý

Khoảng cách luôn là độ dài đoạn vuông góc ngắn nhất.
Nếu có đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta thường đọc trực tiếp khoảng cách từ hình vẽ.
Với hình chóp, có thể dùng công thức thể tích: \[ V=\frac{1}{3}Sh \Rightarrow h=\frac{3V}{S} \] để tính chiều cao, từ đó suy ra khoảng cách.

Câu hỏi củng cố

Nêu định nghĩa khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((\alpha)\). Khi nào khoảng cách này bằng \(0\)?
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính \(d(A,(BCC'B'))\).
Cho hai mặt phẳng song song \((\alpha)\), \((\beta)\). Nếu \(M\in(\alpha)\), \(N\in(\beta)\) và \(MN\perp(\alpha)\), thì \(MN\) có phải là khoảng cách giữa hai mặt phẳng không? Vì sao?
Trong hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\), xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa \(AB\) và \(CC'\).
Nêu một cách thường dùng để tính khoảng cách từ đỉnh \(S\) của hình chóp đến mặt phẳng đáy khi biết thể tích và diện tích đáy.